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module2/exo1/toy_document_orgmode_python_fr.org

-#+TITLE:  Votre titre
-#+AUTHOR: Votre nom
-#+DATE:   La date du jour
+#+TITLE: À propos du calcul de \pi
+#+AUTHOR: Clément
+#+DATE:   01/04/2020
 #+LANGUAGE: fr
 # #+PROPERTY: header-args :eval never-export
 
-#+HTML_HEAD: <link rel="stylesheet" type="text/css" href="http://www.pirilampo.org/styles/readtheorg/css/htmlize.css"/>
-#+HTML_HEAD: <link rel="stylesheet" type="text/css" href="http://www.pirilampo.org/styles/readtheorg/css/readtheorg.css"/>
+# #+HTML_HEAD: <link rel="stylesheet" type="text/css" href="http://www.pirilampo.org/styles/readtheorg/css/htmlize.css"/>
+# #+HTML_HEAD: <link rel="stylesheet" type="text/css" href="http://www.pirilampo.org/styles/readtheorg/css/readtheorg.css"/>
 #+HTML_HEAD: <script src="https://ajax.googleapis.com/ajax/libs/jquery/2.1.3/jquery.min.js"></script>
 #+HTML_HEAD: <script src="https://maxcdn.bootstrapcdn.com/bootstrap/3.3.4/js/bootstrap.min.js"></script>
 #+HTML_HEAD: <script type="text/javascript" src="http://www.pirilampo.org/styles/lib/js/jquery.stickytableheaders.js"></script>
 #+HTML_HEAD: <script type="text/javascript" src="http://www.pirilampo.org/styles/readtheorg/js/readtheorg.js"></script>
 
-* Quelques explications
+* En demandant à la lib maths
+Mon ordinateur m'indique que \pi vaut /approximativement/ :
+
+#+begin_src python :session :exports both
+from math import *
+pi
+#+end_src
+
+#+RESULTS:
+: 3.141592653589793
+
+* En utilisant la méthode des aiguilles de Buffon
+Mais calculé avec la *méthode* des [[https://fr.wikipedia.org/wiki/Aiguille_de_Buffon][aiguilles de Buffon]], on obtiendrait comme
+*approximation* :
+
+#+begin_src python :session :exports both
+import numpy as np
+np.random.seed(seed=42)
+N = 10000
+x = np.random.uniform(size=N, low=0, high=1)
+theta = np.random.uniform(size=N, low=0, high=pi/2)
+2/(sum((x+np.sin(theta))>1)/N)
+#+end_src
+
+#+RESULTS:
+: 3.128911138923655
+
+* Avec un argument "fréquentiel" de surface
+Sinon, une méthode plus simple à comprendre et ne faisant pas intervenir d'appel
+à la fonction sinus se base sur le fait que si \(X \sim U(0,1)\) et \(Y \sim U(0,1)\)
+alors \(P[X^2+Y^2 \leq1] = \pi/4\) (voir
+[[https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Monte-Carlo#D%C3%A9termination_de_la_valeur_de_%CF%80][méthode
+yde Monte Carlo]] sur Wikipedia). Le code suivant illustre ce fait :
+
+#+begin_src python :exports both :session :var matplot_lib_filename="fige.png" :results file
+import matplotlib.pyplot as plt
+
+np.random.seed(seed=42)
+N = 1000
+x = np.random.uniform(size=N, low=0, high=1)
+y = np.random.uniform(size=N, low=0, high=1)
+
+accept = (x*x+y*y) <= 1
+reject = np.logical_not(accept)
+
+fig, ax = plt.subplots(1)
+ax.scatter(x[accept], y[accept], c='b', alpha=0.2, edgecolor=None)
+ax.scatter(x[reject], y[reject], c='r', alpha=0.2, edgecolor=None)
+ax.set_aspect('equal')
+
+plt.savefig(matplot_lib_filename)
+matplot_lib_filename
+#+end_src
+
+#+RESULTS:
+[[file:fige.png]]
+Il est alors aisé d'obtenir une approximation (pas terrible) de \pi en comptant
+combien de fois, en moyenne, \(X^2+Y^2\) est inférieur à 1 : 
+#+begin_src python :results output :session :exports both
+4*np.mean(accept)
+#+end_src
+
+#+RESULTS:
+: 3.112
+
+* Quelques explications                                            :noexport:
 
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